MECÂNICA GRACELI - ESTATÍSTICA QUÂNTICA TENSORIAL DE CAMPOS [534]

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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Na física teórica, especificamente na teoria quântica de campos, uma função beta, β(g), codifica a dependência de um parâmetro de acoplamento, g, na escala de energia, μ, de um determinado processo físico descrito pela teoria quântica de campos.^[1] É definido como

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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\beta (g)={\frac {\partial g}{\partial \log(\mu )}}~,

^[2]

e, por causa do grupo de renormalização subjacente, ele não tem dependência explícita de μ, portanto, depende apenas de μ implicitamente por meio de g. Essa dependência da escala de energia assim especificada é conhecida como a execução do parâmetro de acoplamento, uma característica fundamental da dependência de escala na teoria quântica de campos, e sua computação explícita pode ser alcançada por meio de uma variedade de técnicas matemáticas.^[3]

Em teoria quântica de campo, a função de correlação de n pontos é definida como a média funcional (valor esperado funcional) de um produto de $�$ operadores de campo em posições diferentes

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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C_{n}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right):=\left\langle \phi (x_{1})\phi (x_{2})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \;e^{-S[\phi ]}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})}{\int {\mathcal {D}}\phi \;e^{-S[\phi ]}}}

Para funções de correlação dependentes do tempo, é necessário incluir o operador de ordenação temporal, $�$ .

O termo função de Green é certas vezes generalizado para descrever qualquer função de correlação de n pontos, em vez de apenas funções de dois pontos.

A função de correlação de dois pontos pode ser interpretada fisicamente como a amplitude de propagação de uma partícula ou excitação entre dois pontos no espaço-tempo. Na teoria livre, esta corresponde simplesmente ao propagador de Feynman.^[1]

Na eletrodinâmica quântica, a função de vértice descreve o acoplamento entre um fóton e um elétron além da ordem principal da teoria das perturbações.^[1]^[2] Em particular, é a função de correlação irredutível de uma partícula envolvendo o férmion $\psi$ , o antifermion ${\bar {\psi }}$ e o potencial vetorial A.^[3]^[4]

Definição

A correção de um loop para a função de vértice. Esta é a contribuição dominante para o momento magnético anômalo do elétron.

A função de vértice $\Gamma ^{\mu }$ pode ser definida em termos de uma derivada funcional^[5] da ação efetiva S_eff as

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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\Gamma ^{\mu }=-{1 \over e}{\delta ^{3}S_{\mathrm {eff} } \over \delta {\bar {\psi }}\delta \psi \delta A_{\mu }}

A contribuição dominante (e clássica) para $\Gamma ^{\mu }$ é a matriz gama $\gamma ^{\mu }$ , o que explica a escolha da letra. A função de vértice é restringida pelas simetrias da eletrodinâmica quântica — Invariância de Lorentz; invariância de calibre ou transversalidade do fóton, conforme expresso pela identidade de Ward; e invariância sob paridade - para assumir a seguinte forma:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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\Gamma ^{\mu }=\gamma ^{\mu }F_{1}(q^{2})+{\frac {i\sigma ^{\mu \nu }q_{\nu }}{2m}}F_{2}(q^{2})

onde $\sigma ^{\mu \nu }=(i/2)[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]$ , $q_{\nu }$ é o quadrimomento de entrada do fóton externo (no lado direito da figura), e F₁(q²) e F₂(q²) são fatores de forma^[6] que dependem apenas da transferência de momento q². No nível da árvore (ou ordem inicial), F₁(q²) = 1 e F₂(q²) = 0. Além da ordem inicial, as correções para F₁(0) são exatamente cancelados pela renormalização da intensidade do campo.^[7]^[8] O fator de forma F₂(0) corresponde ao momento magnético anômalo^[9]^[10] a do férmion, definido em termos do fator g de Landé^[11]^[12] como:

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$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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a={\frac {g-2}{2}}=F_{2}(0)

Um estado quântico é qualquer estado possível em que um sistema mecânico quântico possa se encontrar. Um estado quântico plenamente especificado pode ser descrito por um vetor de estado, por uma função de onda ou por um conjunto completo de números quânticos para um dado sistema. Vetores de estado quântico, na interpretação mais comum da mecânica quântica, não têm realidade física. O que tem significado físico são as probabilidades que podem ser calculadas a partir deles e não os vetores em si.^[1] Ao estado quântico de menor energia possível dá-se o nome de estado quântico fundamental.

Na física quântica, o estado quântico se refere ao estado de um sistema isolado. Um estado quântico fornece uma distribuição de probabilidade para o valor de cada observável, ou seja, para o resultado de cada medida possível no sistema. O conhecimento do estado quântico juntamente com as regras para a evolução do sistema no tempo esgota tudo o que se pode prever sobre o comportamento do sistema.

Uma mistura de estados quânticos é novamente um estado quântico. Os estados quânticos que não podem ser escritos como uma mistura de outros estados são chamados estados quânticos puros, todos os outros estados são chamados de estados quânticos mistos.

Matematicamente, um estado quântico puro pode ser representado por um raio em um espaço de Hilbert sobre os números complexos.^[2] O raio é um conjunto de vetores diferentes de zero diferindo apenas por um fator escalar complexo; qualquer um deles pode ser escolhido como um vetor de estado para representar o raio e, portanto, o estado. Um vetor unitário é normalmente escolhido, mas seu fator de fase pode ser escolhido livremente de qualquer maneira. No entanto, esses fatores são importantes quando vetores de estado são adicionados para formar uma superposição.

O espaço de Hilbert é uma generalização do espaço euclidiano comum^[3] e contém todos os possíveis estados quânticos puros do sistema dado.^[4] Se este espaço de Hilbert, por escolha de representação (essencialmente uma escolha de base correspondente a um conjunto completo de observáveis), é exibido como um espaço de função (um espaço de Hilbert por direito próprio), então os representantes são conhecidos como funções de onda.

Por exemplo, quando se trata do espectro de energia do elétron em um átomo de hidrogênio, os vetores de estado relevantes são identificados pelo número quântico principal n, o número quântico do momento angular l, o número quântico magnético m, e o spin z. Um caso mais complicado é dado (na notação bra-ket) pela parte de spin de um vetor de estado:

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$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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\left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle {\bigg )},

que evolve para a superposição dos estados de spin conjunto para duas partículas com spin 1⁄2.

Um estado quântico misto corresponde a uma mistura probabilística de estados puros; no entanto, diferentes distribuições de estados puros podem gerar estados mistos equivalentes (isto é, fisicamente indistinguíveis). Os estados mistos são descritos pelas chamadas matrizes de densidade. Um estado puro também pode ser reformulado como uma matriz de densidade; desta forma, os estados puros podem ser representados como um subconjunto dos estados mistos mais gerais.

Por exemplo, se o spin de um elétron é medido em qualquer direção, por exemplo com um experimento de Stern-Gerlach, há dois resultados possíveis: para cima ou para baixo. O espaço de Hilbert para o spin do elétron é, portanto, bidimensional. Um estado puro aqui é representado por um vetor complexo bidimensional $(\alpha ,\beta )$ , com um comprimento de um; isto é, com

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1,

onde $|\alpha |$ e $|\beta |$ são valores absolutos $\alpha$ e $\beta$ . Um estado misto, neste caso, tem a estrutura de uma matriz $2\times 2$ isso é, hermitiano, positivo-definido, e tem o traço 1.

Antes que uma medição particular seja realizada em um sistema quântico, a teoria geralmente fornece apenas uma distribuição de probabilidade para o resultado, e a forma que essa distribuição assume é completamente determinada pelo estado quântico e pelo observável que descreve a medição. Essas distribuições de probabilidade surgem tanto para estados mistos quanto para estados puros: é impossível na mecânica quântica (ao contrário da mecânica clássica) preparar um estado no qual todas as propriedades do sistema sejam fixas e certas. Isso é exemplificado pelo princípio da incerteza e reflete uma diferença central entre a física clássica e a física quântica. Mesmo na teoria quântica, no entanto, para todo observável existem alguns estados que têm um valor exato e determinado para aquele observável.^[3]^[5]

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$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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\left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle {\bigg )},

que evolve para a superposição dos estados de spin conjunto para duas partículas com spin 1⁄2.

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1,

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